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Algebra
Algebra es rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo mas general posible.
El concepto de la cantidad en algebra es mucho mas amplio que aritmética. En aritmética las cantidades se representan por números y estos expresa valores determinados. así, 20 expresa un solo valor.
En algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueda representar todos los valores.
Introducción:
Una expresión algebráica es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.
Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z.
Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los factores del término 5x2 de la expresión algebráica 5x2 + 3x3y3z .
Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.
Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una c
onstante es cero.
Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.
Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.
Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.
Clasificación
Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:
a) Por el número de incógnitas.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres incógnitas.
Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.
b) Por el número de términos
b1) Ecuaciones binómicas:
Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.
b2) Ecuaciones polinómicas:
Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones?
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raiz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra.
D'Alembert fue el primer matemático que dió una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dió una demostración rigurosa.
a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b
-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.
b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula:
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a.
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